f(x)=(ax+b)!(cx+d)!f(x)=\dfrac{(ax+b)!}{(cx+d)!}

  • a<ca<c
    显然 xx 趋于无穷时，分子和分母皆为无穷大量
    而分母的阶大于分子的阶（分母比分子快），故 lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
    又 xx 充分大时，f(x)f(x) 递减
    故 ∑n=0∞(ax+b)!(cx+d)!\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(ax+b)!}{(cx+d)!} 收敛
    • eg. f(x)=(x+1)!(2x−1)!f(x)=\dfrac{(x+1)!}{(2x-1)!}
      图像
  • a=ca=c 且 b<db<d
    显然 xx 趋于无穷时，分子和分母皆为无穷大量
    而分母的阶大于分子的阶（分母比分子快），故 lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x\to+\infty}f(x)=0
    又 xx 充分大时，f(x)f(x) 递减
    故 ∑n=0∞(ax+b)!(cx+d)!\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(ax+b)!}{(cx+d)!} 收敛
    • eg. f(x)=(x+1)!(x+2)!f(x)=\dfrac{(x+1)!}{(x+2)!}
      图像