各类积分的对称性

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积分分类

（一）$I$ 型积分 （点函数）
（1）二重积分
（2）三重积分
（3）$I$ 型曲线积分
（3）$I$ 型曲面积分

（二）$II$ 型积分
（1）$II$ 型曲线积分
（1）$II$ 型曲面积分

$I$ 型积分的奇偶对称性

偶倍奇零
（1）设 $\Omega \subset R^3$，$\Omega$ 是曲线或曲面或立体。
若 $\Omega=\Omega_1+\Omega_2$，且 $\Omega_1$，$\Omega_2$ 关于原点对称，则

$$\int_\Omega f(P) \ \mathrm{d}\Omega=\left \{ \begin{aligned} &2\int_{\Omega_1} f(P) \ \mathrm{d}\Omega &f(x,y,z)=f(-x,-y,-z) \\&0&f(x,y,z)=-f(-x,-y,-z) \end{aligned} \right.$$

（2）设 $\Omega \subset R^2$，$\Omega$ 是平面曲线或平面图形。
若 $\Omega=\Omega_1+\Omega_2$，且 $\Omega_1$，$\Omega_2$ 关于原点对称，则

$$\int_\Omega f(P) \ \mathrm{d}\Omega=\left \{ \begin{aligned} &2\int_{\Omega_1} f(P) \ \mathrm{d}\Omega &f(x,y)=f(-x,-y) \\&0&f(x,y)=-f(-x,-y) \end{aligned} \right.$$

$I$ 型积分的轮换对称性

对于$\int_X f \ \mathrm{d}U$：

1、被积函数不变，积分区域不变

没有意义，因为无法简化运算

2、被积函数改变，积分区域不变

（1）两字母轮换：将 $x,y$ 换为 $y,x$，积分域 $X$ 不变（几何意义：积分域 $X$ 关于 $x=y$ 对称），而被积函数 $f(x,y)$ 变为 $f(y,x)$，则

$$(1)\int_X f(x,y) \ \mathrm{d}U=\int_X f(y,x) \ \mathrm{d}U$$

$$(2)\int_X f(x,y) \ \mathrm{d}U = \frac{1}{2}\bigg(\int_X f(x,y) \ \mathrm{d}U+\int_X f(y,z) \ \mathrm{d}U\bigg)$$

（2）三字母轮换：将 $x,y,z$ 换为 $y,z,x$ 积分域 $X$ 不变（几何意义：积分域 $X$ 绕直线 $x=y=z$ 旋转120°, 积分域 $X$ 不变），而被积函数 $f(x,y,z)$ 变为 $f(y,z,x)$,则

$$(1)\int_X f(x,y,z) \ \mathrm{d}U=\int_X f(y,z,x) \ \mathrm{d}U=\int_X f(z,x,y) \ \mathrm{d}U$$

$$(2)\int_X f(x,y,z) \ \mathrm{d}U = \frac{1}{3}\bigg(\int_X f(x,y,z) \ \mathrm{d}U+\int_X f(y,z,x) \ \mathrm{d}U+\int_X f(z,x,y) \ \mathrm{d}U\bigg)$$

3、被积函数不变,积分区域改变

（1）两字母轮换：将 $x,y$ 换为 $y,x$，积分域 $X$ 改变为 $X_1$ （几何意义：积分域 $X$ 与 $X_1$ 关于 $x=y$ 对称），而被积函数 $f(x,y)$ 不变，则

$$\int_X f(x,y) \ \mathrm{d}U=\int_{X_1} f(x,y) \ \mathrm{d}U$$

（2）三字母轮换：将 $x,y,z$​ 换为 $y,z,x$​，积分域 $X$​ 改变为 $X_1$ （几何意义： 积分域 $X$ 绕直线 $x=y=z$​ 旋转120°，$X$​ 变为 $X_1$​），而被积函数 $f(x,y,z)$ 不变，则

$$\int_X f(x,y,z) \ \mathrm{d}U=\int_{X_1} f(x,y,z) \ \mathrm{d}U$$

$II$ 型积分的奇偶对称性

和点函数的对称性相反

1、第二类曲面积分

设曲面 $S$ 关于 $xoy$ 面对称，$xoy$ 面上半部分为 $S_1$，取上侧，$xoy$ 面下半部分为 $S_2$，取下侧，则

$$\iint_S f(x,y,z) \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\left \{ \begin{aligned} &2\iint_{S_1} f(x,y,z) \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &f(x,y,z)=-f(x,y,-z) \\&0&f(x,y,z)=f(x,y,-z) \end{aligned} \right.$$

2、第二类曲线积分

设曲线 $L$ 关于 $x$ 轴对称，$L$ 在上半平面部分记为 $L_1$，$L$ 在下半平面部分记为 $L_2$。

• 当 $L_1$ 与 $L_2$ 方向相同时，有

$$\int_L P(x,y) \ \mathrm{d}x=\left \{ \begin{aligned} &2\int_{L_1} P(x,y) \ \mathrm{d}x &P(x,y)=P(x,-y) \\&0&P(x,y)=-P(x,-y) \end{aligned} \right.$$

• 当 $L_1$ 与 $L_2$ 方向相反时，有

$$\int_L P(x,y) \ \mathrm{d}x=\left \{ \begin{aligned} &2\int_{L_1} P(x,y) \ \mathrm{d}x &P(x,y)=-P(x,-y) \\&0&P(x,y)=P(x,-y) \end{aligned} \right.$$

$II$ 型积分的轮换对称性

1、第二类曲面积分

曲面关于变量的轮换对称性的几何意义是指曲面关于直线 $x = y = z$ 对称，即将曲面绕直线
$x=y=z$ 旋转 $\frac{2π}{3}$ 或 $\frac{4π}{3}$ 弧度后，仍与原曲面相重合。如平面 $x + y + z = 1$，球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ 等均属此类。如果曲面 $\Sigma$ 具有轮换对称性，则曲面的方程 $F(x, y, z) = 0$ 必有如下特征：将 $F(x, y, z)$ 中的变量$x，y，z$ 的位置轮换，不会改变函数 $F(x, y, z)$ 的表达式。如 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - a^2$，则 $F(x, y, z) = z^2 + x^2 + y^2 - a^2$，两者的形式不会发生变化。

如果将 $x,y,z$ 换为 $y,z,x$ 或 $z,x,y$，曲面 $\Sigma$ 及其侧不变（几何意义：$\Sigma$ 及其侧绕 $x=y=z$ 旋转 $\frac{2π}{3}$ 或 $\frac{4π}{3}$ 弧度不变），即曲面 $\Sigma$ 在各坐标平面上的投影区域相同，且配给的符号也相同，则

$$(1)\iint_\Sigma f(x,y,z) \ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \iint_\Sigma f(y,z,x)\ \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x = \iint_\Sigma f(z,x,y) \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

$$(2)\iint_\Sigma f(x,y,z) \ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \frac{1}{3}\bigg(\iint_\Sigma f(x,y,z) \ \mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+\iint_\Sigma f(y,z,x)\ \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x+\iint_\Sigma f(z,x,y) \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\bigg)$$

2、第二类曲线积分

如果将 $x,y,z$ 换为 $y,z,x$ 或 $z,x,y$，空间曲线 $L$ 及其方向不变（几何意义：$L$ 及其方向绕 $x=y=z$ 旋转 $\frac{2π}{3}$ 或 $\frac{4π}{3}$ 弧度不变），则

$$(1)\int_L f(x,y,z) \ \mathrm{d}x = \int_L f(y,z,x) \ \mathrm{d}y = \int_L f(z,x,y) \ \mathrm{d}z$$

$$(2)\int_L f(x,y,z) \ \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\bigg(\int_L f(x,y,z) \ \mathrm{d}x+\int_L f(y,z,x) \ \mathrm{d}y+\int_L f(z,x,y) \ \mathrm{d}z\bigg)$$

例题

例1:计算 $\iiint_\Omega e^{|z|}\ \mathrm{d}v，\Omega:x^2+y^2+z^2\leq1$​
积分区域是一个球体，因此关于三个平面都是对称的，观察被积函数，易知 $f(x,y,z)=f(x,y,-z)$
所以 $\iiint_\Omega e^{|z|}dv=2\iiint_{\Omega_1} e^{z}dv,\Omega_1:x^2+y^2+z^2\leq1,z\geq0$

例2:设 $\Omega=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leq1\}，求\iiint_\Omega z^2dv$
将 $x,y,z$ 调换为 $y,z,x$，积分区域不发生变化，被积函数改变，所以属于第二种情况。
所以：$\iiint_\Omega z^2 \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z=\iiint_\Omega x^2\ \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}x=\iiint_\Omega y^2 \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac13\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) \ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$