星形线（内摆线）赏析

$x^\dfrac{a}{b}+y^\dfrac{a}{b}=1$（$\dfrac{a}{b}$ 为最简分数）

• $a$ 为偶数（导致曲线封闭），则 $b$ 必为奇数
  此时曲线为星形线
  曲线从内至外的解析式：

  • 绿：$x^\dfrac{2}{3}+y^\dfrac{2}{3}=a^\dfrac{2}{3}$
    参数方程：

    $$\begin{cases} x=acos^3t\\ y=asin^3t\\ \end{cases}$$

  • 灰：$x^\dfrac{4}{5}+y^\dfrac{4}{5}=1$
  • 紫：$x^\dfrac{4}{3}+y^\dfrac{4}{3}=1$
  • 蓝：$x^2+y^2=1$
  • 红：$x^4+y^4=1$
    

• $a$ 为奇数（导致曲线不封闭），$b$ 为奇数
  曲线依次的解析式：

  • 红：$x^3+y^3=1$
  • 紫：$x^\dfrac{5}{3}+y^\dfrac{5}{3}=1$
  • 绿：$x+y=1$
  • 蓝：$x^\dfrac{1}{3}+y^\dfrac{1}{3}=1$
    

• $a$ 为奇数（导致曲线不封闭），$b$ 为偶数（导致 $x\geq0$，图像只在第一象限）
  曲线从下至上的解析式：

  • 蓝：$x^\dfrac{1}{2}+y^\dfrac{1}{2}=1$
  • 红：$x^\dfrac{3}{4}+y^\dfrac{3}{4}=1$
  • 绿：$x^\dfrac{3}{2}+y^\dfrac{3}{2}=1$
  • 紫：$x^\dfrac{5}{2}+y^\dfrac{5}{2}=1$
    

• $\dfrac{a}{b}$ 规律
  $\dfrac{a}{b}$ 越大，曲线越凸起
  $\dfrac{a}{b}$ 越小，曲线越凹陷